Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（m为常数，m＞2，x＞0）的图象过点P（m，2）和Q（2，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是反比例函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．MA交OP于点E，MB交OQ于点F，连接EF，MP，MQ

（1）当m＝4时，求线段CD的长；

（2）当2＜x＜m时，若仅存在唯一的点M使得△MPQ的面积等于m﹣2，求此时点M的坐标；

（3）当2＜x＜m时，记以线段OE，OF为两直角边的三角形外接圆面积为S1；记三角形△MEF的外接圆面积为S2；记以PC为直径的圆面积为S3；记以QD为直径的圆面积为S4；试比较S1，S2+S3+S4的大小．

Answer 1

【答案】(1) 6;(2) M（4，4）;(3) S1＝S2+S3+S4,理由见解析

【解析】

（1）求出直线PQ的解析式，再求出点C，D的坐标即可解决问题．

（2）由题意当2＜x＜m时，若仅存在唯一的点M使得△MPQ的面积等于m﹣2，根据反比例函数是关于直线y＝x对称的，可知点M在直线y＝x上，可得M（，），然后求出直线PQ的解析式，连接OM交CD于G，求出OG，OM，可得MG的长，然后结合P，Q坐标，可得PQ的长，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；

（3）设M（a，），由（2）可知D（0，2+m），C（2+m，0），可得DQ＝，PC＝，然后易得直线OP的解析式为y＝，直线OQ的解析式为y＝，求出E（a，），F（，），再根据直角三角形外接圆的性质和圆的周长公式求出S1，S2，S3，S4，即可判断．

解：（1）当m＝4时，Q（2，4），P（4，2），

设直线PQ的解析式为y＝kx+b(k≠0)，

则，解得：，

∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+6，

令y=0则x=6，令x=0则y=6，

∴C（6，0），D（0，6），

∴OC＝OD＝6，

∵∠COD＝90°，

∴CD＝；

（2）∵当2＜x＜m时，若仅存在唯一的点M使得△MPQ的面积等于m﹣2，

∴根据反比例函数关于直线y＝x对称，可知点M在直线y＝x上，

∴M（，），

∴OM=，

设直线PQ的解析式为y＝kx+b(k≠0)，

则，解得：，

∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+2+m，

令x=0则y=2+m，令y=0则x=2+m，

∴D（0，2+m），C（2+m，0），

∴CD＝，

连接OM交CD于G，

∵△COD是等腰直角三角形，点M在直线y＝x上，

∴OG⊥CD，

∴OG=，

∴MG＝，

∵P（m，2），Q（2，m），

∴PQ＝，

由题意得：，

解得m＝8或0（舍去），

∴M（4，4）；

（3）设M（a，），

由（2）可得D（0，2+m），C（2+m，0）

∴DQ＝，PC＝，

易得直线OP的解析式为y＝，直线OQ的解析式为y＝，

∴E（a，），F（，），

∴

，

S3＝S4＝2π，

∴S2+S3+S4＝＝S1，

∴S1＝S2+S3+S4．