Question

【题目】在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过，，顶点为．

求该抛物线的表达方式及点的坐标；

将中求得的抛物线沿轴向上平移个单位，所得新抛物线与轴的交点记为点．当时等腰三角形时，求点的坐标；

若点在中求得的抛物线的对称轴上，联结，将线段绕点逆时针转得到线段，若点恰好落在中求得的抛物线上，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；顶点坐标为；（2）坐标为；（3）的坐标为，．

【解析】

（1）将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式，配方后即可求出顶点C的坐标；

（2）由平移规律即C的坐标表示出D的坐标，在直角三角形AOC中，由OA与OC的长，利用勾股定理求出AC的长，由图形得到∠DAC为钝角，三角形ACD为等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的长，即为m的值，即可确定出D的坐标；

（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-2，n），如图所示，过O′作O′M⊥x轴，交x轴于点M，过P作PN⊥O′M，垂足为N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN为矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0与小于0两种情况表示出O′坐标，将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n的值，即可确定出P的坐标．

将，坐标分别代入抛物线解析式得：，

解得：，

∴抛物线解析式为，

∴顶点坐标为；

由题意得：，

在中，，，

根据勾股定理得：，

由图形得到为钝角，要使为等腰三角形，只有，

∴，

则坐标为；

设，如图所示，过作轴，交轴于点，过作，垂足为，

易得，，，

∴，

∴，，

∵四边形为矩形，

∴，

①当时，，代入抛物线解析式得：，

解得：或（舍去）；

②当时，，代入抛物线解析式得：，

解得：（舍去）或，

综上①②得到或，

则的坐标为，．