Question

3．直线l垂直x轴于点A（4，0），点P是直线l上的一个动点，经过点P的抛物线y=x²+bx与x轴交于原点O和点B，抛物线的对称轴交OP于点C，交x轴于点D，设P点的纵坐标为m．
（1）求当点P与点A重合时抛物线的解析式；
（2）平移直线OP，使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点Q，试证明：无论m为何值时，△OPQ的面积恒为定值，请说明理由并求其值；
（3）连接BC，试问：是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入抛物线的解析式求出b即可得到当点P与点A重合时，抛物线的解析式；、
（2）先得到直线OP的解析式为y=$\frac{m}{4}$x，再用m表示抛物线解析式为y=x²+$\frac{m-16}{4}$x，设直线OP平移后的解析式为y=$\frac{m}{4}$x+n，根据抛物线与直线有且只有一个公共点，得到方程x²+$\frac{m-16}{4}$x=$\frac{m}{4}$x+n有两个相等的实数解，利于判别式的意义可计算出n=4，方程的解为x₁=x₂=2，则Q（2，$\frac{1}{2}$m-4），作QE∥y轴交OP于E点，则E（2，$\frac{1}{2}$m），然后根据三角形面积公式好，利用S_△OPQ=S_△OQE+S_△PQE进行计算，即可得到无论m为何值时，△OPQ的面积恒为定值8；
（3）分类讨论：当点P在x轴的上方时和当点P在x轴的下方时两种情况利用△PAB∽△PAP得到比例式，从而求得点P的坐标．

解答 （1）解：把A（4，0）代入抛物线解析式，可得0=4²+4b，
解得b=-4，
所以当点P与点A重合时，抛物线的解析式为y=x²-4x；
（2）证明：如图1，由已知得P（4，m），则直线OP的解析式为y=$\frac{m}{4}$x，
把P（4，m）代入y=x²+bx得16+4b=m，解得b=$\frac{m-16}{4}$，则抛物线解析式为y=x²+$\frac{m-16}{4}$x，
设直线OP平移后的解析式为y=$\frac{m}{4}$x+n，
∵直线OP平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点Q，
∴方程x²+$\frac{m-16}{4}$x=$\frac{m}{4}$x+n有两个相等的实数解，
∴△=4²+4n=0，解得n=4，方程的解为x₁=x₂=2，
∴Q（2，$\frac{1}{2}$m-4），
作QE∥y轴交OP于E点，则E（2，$\frac{1}{2}$m），
∴S_△OPQ=S_△OQE+S_△PQE=$\frac{1}{2}$×QE×4=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$m+4）×4=8，
∴无论m为何值时，△OPQ的面积恒为定值8；
（3）解：存在点P，使得△PBC为直角三角形．
当点P在x轴的上方时，如图1，
若∠PCB=90°，
∵CO=CB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠POB=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，4）；
若∠PBC=90°，则有∠APB=∠CBD=∠COD，
又∵∠PAB=∠OAP，
∴△PAB∽△OAP，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AP}{OA}$，
∵抛物线的解析式为y=x²+$\frac{m-16}{4}$x，
∴B（4-$\frac{m}{4}$，0），
∴AB=$\frac{m}{4}$，
∴$\frac{\frac{m}{4}}{m}$=$\frac{m}{4}$，
解得：m=1，
∴P（4，1）；
当点P在x轴的下方时，如图3，
若∠PCB=90°，
∵CO=CB，
∴∠POB=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，-4），
若∠CPB=90°，则可证△PAB∽△PAP，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AP}{OA}$，
由上题得B（4-$\frac{m}{4}$，0），
∴AB=-$\frac{m}{4}$
∴$\frac{-\frac{m}{4}}{-m}$=-$\frac{m}{4}$，
解得：m=-1，
综上所述，所求点P的坐标为（4，4）、（4，1）、（4，-4）、（4，-1）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一次函数的交点问题和二次函数的性质；理解坐标与图形性质，会利用点的坐标表示相应线段的长；灵活应用相似三角形的判定与性质计算线段的长；会利用分类讨论的思想解决实数问题．