Question

【题目】古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，如他们研究各种多边形数：记第n个k边形数N(n，k)＝n2＋n(n≥1，k≥3，k、n都为整数)，

如第1个三角形数N(1，3)＝×12＋×1＝1；

第2个三角形数N(2，3)＝×22＋×2＝3；

第3个四边形数N(3，4)＝×32＋×3＝9；

第4个四边形数N(4，4)＝×42＋×4＝16.

(1)N(5，3)＝________，N(6，5)＝________；

(2)若N(m，6)比N(m＋2，4)大10，求m的值；

(3)若记y＝N(6，t)－N(t，5)，试求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）15；51；（2）7；（3）当t＝5时，y有最大值，其最大值为16.

【解析】试题分析：（1）根据N（n，k）的定义，求出N（5，3），N（6，5）的值即可．
（2）根据N（m，6）比N（m+2，4）大10，列出方程即可解决问题．
（3）首先根据y=N（6，t）-N（t，5），构建二次函数，然后根据二次函数的性质即可解决问题．

试题解析：（1）N（5，3）=×52+×5
=12.5+2.5
=15，
N（6，5）=×62+×6
=54-3
=51，

（2）∵N（m，6）比N（m+2，4）大10，
∴×m2+×m-×（m+2）2-×（m+2）=10，
∴2m2-m-（m+2）2=10，
整理，可得
m2-5m-14=0，
解得m=7或m=-2．
（3）y=N（6，t）-N（t，5）
=×62+×6-×t2-×t
=18t-36+12-3t-1.5t2+0.5t
=-1.5（t- ）2+，
∵r≥1，t≥3，k，n都为整数，-1.5＜0，
∴t=5时，y有最大值，最大值为16，
∴y的最大值为16．