Question

如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC=PA•BC．

Answer 1

证明：如图，连接AC，连接BD．
∵DP∥AC，
∴∠PDA=∠DAC．
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠PDA=∠DBC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAP=∠DCB．
∴△PAD∽△DCB．
得PA：DC=AD：BC，
即AD•DC=PA•BC．
分析：要证AD•DC=PA•BC，需证△PAD∽△DCB；由DP∥AC，可得∠ADP=∠DAC=∠DBC；由于∠DAP是圆内接四边形ABCD的一个外角，故有∠DAP=∠DCB；从而△PAD∽△DCB成立，由此得证．
点评：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识．