Question

5．如图1，已知直线l₁∥l₂，线段AB在直线l₁上，BC垂直l₁交l₂于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D，E（点A，E位于点B的两侧），且∠EDC=45°，连接AP，CE．
（1）若∠PAB=25°，则∠APD=70°；
（2）求证：△ABP≌△CBE；
（3）如图2，连结BD，BD与AP相交于点F，若AP⊥BD，求：$\frac{BC}{BP}$的值．

Answer 1

分析 （1）在RT△DCP和RT△ABP中分别求出∠DPC和∠APB即可利用∠APD=180°-∠DPC-∠APB进行计算．
（2）根据已知条件，AB=BC，∠ABP=∠CBE，所以欲△ABP≌△CBE只要证明PB=BE即可．
（3）用两次全等△ABP≌△BCD以及△DCP≌△EBP即可得出结论．

解答 （1）解：如图1中，∵BC⊥AB，l₁∥l₂，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABP=90°，
∴∠DCP=90°，
∵∠CDP=45°，∠PAB=25°，
∴∠DPC=90°-∠CDP=45°，∠APB=90°-∠PAB=65°，
∴∠APD=180°-∠DPC-∠APB=70°．
故答案为70°．
（2）∵CD∥BE，
∴∠BEP=∠CDP=45°，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=∠BEP=45°，
∴PB=BE，
在△ABP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE．
（3）∵AP⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠ABF+∠DBC=90°，
∴∠PAB=∠DBC，
在△ABP和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠DBC}\\{AB=BC}\\{∠ABP=∠DCB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD，
∴PB=DC=BE，
 在△PDC和△PEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠EPB}\\{∠DCP=∠EBP}\\{DC=BE}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△EBP，
∴PC=PB，
∴$\frac{BC}{PB}$=2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质，利用三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．