Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在对角线BD上，DE＝2，连接CE，过点E作EF⊥CE，交线段AB于点F

（1）求证：CE＝EF；

（2）求FB的长；

（3）连接FC交BD于点G．求BG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）过E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，根据正方形的性质得到∠EBM＝∠HBE＝45°，求得EM＝EH，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到BD＝6，得到AM＝CH＝2，根据全等三角形的性质得到FM＝CH＝2，于是得到结论；

（3）过G作GN⊥BC于N，设GN＝BN＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：（1）过E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EBM＝∠HBE＝45°，

∴EM＝EH，

∵∠EMB＝∠MBH＝∠BHE＝90°，

∴∠MEH＝90°，

∵EF⊥CE，

∴∠MEF＝90°，

∴∠MEF＝∠CEH，

∴△EMF≌△EHC（ASA），

∴CE＝EF；

（2）∵AB＝6，

∴BD＝6，

∵DE＝2，

∴BE＝BD﹣DE＝4，

∴BM＝BH＝4，

∴AM＝CH＝2，

∵△EMF≌△EHC，

∴FM＝CH＝2，

∴BF＝AB﹣AM﹣MF＝6﹣2﹣2＝2；

（3）过G作GN⊥BC于N，

∴GN＝BN，

设GN＝BN＝x，

∴CN＝6﹣x，

∵GN⊥BC，AB⊥BC，

∴GN∥BF，

∴△CGN∽△CFB，

∴，

∴,

∴x＝，

∴BN＝GN＝，

∴BG＝BN＝．