Question

【题目】 AB，CD是的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．

(1)如图1当点E在外时，连接，求证BE平分∠GBC；

(2)如图2当点E在内时，连接AC，AG，求证：AC=AG

(3)在(2)条件下，连接BO，若BO平分，求线段EC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EC=2

【解析】

（1）通过圆内接四边形的性质以及直角三角形中角度的换算证明即可．

（2）通过角度换算利用角边角定理证明，得出，最后通过线段垂直平分线性质证得．

（3）通过证明进而得到为等边三角形即可

(1)∵四边形内接于．

∴，

又∵．

∴可得．

又∵

∴在中，

同理可得在中，．

∴

∴．

又∵．

∴

即平分

(2)如图所示，连接，

∵

∴在中

同理可得，

∴，

由同弧所对的圆周角相等可得

．

又∵

∴．

在和中，

∴

∴．

∴AB垂直平分CG

∴

(3)延长交于H，连接，，延长交于K交于I．

∵

∴

∵

，即

∵平分且过圆心，

∴垂直平分

∴

∴

∴

又∵．

∴

∴

∵，

∴为等边三角形

∴

又∵

∴