Question

1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+2（a≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象相交于C（1，m），D（n，-2）两点，连接OD，OC，其中tan∠BAO=2．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求反比例函数的表达式和△COD的面积．

Answer 1

分析 （1）由一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，结合tan∠BAO=2可得出OA的长度，进而得出点A的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；
（2）由一次函数图象上点的坐标特征可得出点C、D的坐标，根据点C的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式，再根据三角形的面积公式即可求出△COD的面积．

解答 解：（1）当x=0时，y=ax+2=2，
∴点B（0，2）．
∵tan∠BAO=$\frac{BO}{AO}$=2，
∴AO=1，
∴点A（-1，0）．
将点A（-1，0）代入y=ax+2中，
0=-a+2，解得：a=2，
∴一次函数的表达式为y=2x+2．

（2）∵点C（1，m）、D（n，-2）在y=2x+2的函数图象上，
∴m=4，n=-2，
∴C（1，4），D（-2，-2）．
将点C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$中，
4=$\frac{k}{1}$，解得：k=4，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{4}{x}$．
S_△COD=$\frac{1}{2}$OA•（y_C-y_D）=$\frac{1}{2}$×1×[4-（-2）]=3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解直角三角形、待定系数法求一次（反比例）函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出点A的坐标；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式．