Question

11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE∥BC交⊙O于点E，连接BE交AC于点H．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到∠ACB=90°，根据平行线的性质得到OE⊥AC，根据垂径定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到∠ABD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠CBD=∠2，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OE∥BC，
∴OE⊥AC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠1=∠2，
∴BE平分∠ABC；

（2）解：∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵∠ACB=90°，BH=BD=2，
∴∠CBD=∠2，
∴∠1=∠2=∠CBD，
∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，
∵∠ABD=90°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$，
∵OD²=OB²+BD²，
∴OD=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，角平分线的判定，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．