Question

如图，长方形ABCD中，AB=a，BC=b （a，b为正整数，且a＞b），中间小长方形离开四周的距离都等于1，且面积是长方形ABCD的一半，则a=

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：首先根据题意可得方程：

1

2

ab=（a-2）（b-2），整理此方程，可解得：a=4+

8

b-4

，由a，b为正整数，可得b-4=1或2或4或8，又由a＞b，然后分别求解即可求得答案．

解答：解：根据题意得：

1

2

ab=（a-2）（b-2），
即：ab-4a=4b-8，
可得：（b-4）a=4b-8，
解得：a=

4b-8

b-4

=

4(b-4+2)

b-4

=4+

8

b-4

，
∵a，b为正整数，
∴b-4=1或2或4或8，
∵a＞b，
∴当b-4=1时，a=12，b=5；
当b-4=2时，a=8，b=6；
当b-4=4时，a=6，b=8（舍去）；
当b-4=8时，a=5，b=12（舍去）；
∴a=12或8．
故答案为：12或8．

点评：此题考查了矩形的性质与面积与等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是根据题意列方程，然后求得a=4+

8

b-4

，再利用分类讨论思想求解即可．