Question

一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图所示），则三角形与矩形周长之比为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：首先由折叠的性质与矩形的性质求得：AC′=DC′=C′F，BC′=BC，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，再求出个角的度数，然后设AC′=x，则C′D=x，再利用三角函数的知识表示出C′E、BE、AB、BC′的长即可算出△BC′E的周长和矩形ABCD的周长，进而求得答案．

解答：解：根据折叠的性质得：AC′=DC′=C′F，BC′=BC，∠1=∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠1=∠2=∠3=

1

3

∠ABC=30°，
∴∠4=∠5=180°-∠A-∠1=60°，
∴∠6=∠7=（180°-∠4-∠5）÷2=30°，
设AC′=x，则BC′=2x，C′D=x，
AB=

AC′

tan30°

=

3

x，C′E=

C′D

cos30°

=

2 3

3

x，BE=

CB

cos30°

=

2x

3 2

=

4 3

3

x，
∴△BC′E的周长为：C′B+EB+C′E=2x+

2 3

3

x+

4 3

3

x=（2+2

3

）x，
矩形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（

3

x+2x）=（2

3

+4）x，
∴三角形与矩形周长之比为：（2+2

3

）：（2

3

+4）=

3

-1．
故答案为：

3

-1．

点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数等知识．解题的关键是找到折叠中的线段的对应关系，角的对应关系，利用三角函数表示出△BC′E和矩形ABCD的长和宽．