题目内容

【题目】如图，是边长为12的等边三角形，点是边上一动点，由点向点运动（与、不重合），点是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于，连接交于点．

（1）当时，求的长；

（2）证明：在运动过程中，点是线段的中点；

（3）点，点运动过程中线段的长是否为定值？如果线段的长为定值，求出线段的长；如果线段的长不为定值，请说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）线段的长为定值，

【解析】

（1）设，则，先根据等边三角形的性质和可得，再根据直角三角形的性质求解即可；

（2）如图（见解析），过点作，交于点，先根据平行线的性质得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

（3）先根据题（2）可知，再根据线段的和差、即可得出答案．

（1）设，则

∵是等边三角形

∴

∵，

∴

则在中，

即

解得

故AM的长为4；

（2）如图，过点作，交于点

∴

∴是等边三角形

∴

∴

在和中，

∴

∴

即在运动过程中，点是线段的中点；

（3）线段的长为定值．求解过程如下：

由（2）知，是等边三角形

∵

∴

由（2）的结论可知：

∴

又∵

∴

故线段的长为定值6．

练习册系列答案
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【题目】如图，，，且，，点以每秒的速度从点开始沿射线运动，同时点在线段上由点向终点运动．设运动时间为秒．

（1）当时，________，__________．

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(3)△A2B2C2的面积是____.

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②AP＝EF，

③△EPF是等腰直角三角形，

④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．

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（1）点C的坐标为　 　（用含m，n的式子表示）

（2）求证：CP⊥AP．

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

ɑ

30°

40°

50°

60°

β

120°

130°

140°

150°

γ

150°

140°

130°

120°

猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：

（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

【题目】如图，在中，，是中线，过点作的平行线交的延长线于点．

（1）求证：为等腰三角形；

（2）延长至点，使，连接，求证：．

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