Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AC边上的一个动点；PE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．
（1）求证：△APE与△EBF都与△ABC相似；
（2）当P在AC上移动时，能否得到△PCF与△APE相似？若能，问AP为何值时，△CPF与△APE相似；若是不能也请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：分类讨论

分析：（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再设AP=a，利用∠A的余弦表示出AE，再求出BE，利用∠B的余弦求出BF，然后求出CF，再根据相似三角形对应边成比例求出

CF

PF

，然后求解即可．

解答：（1）证明：∵PE⊥AB，∠C=90°，
∴∠AEP=∠C=90°，
又∵∠PAE=∠BAC，
∴△APE∽△ABC，
∵EF⊥BC，∠C=90°，
∴∠EFB=∠C=90°
又∵∠B=∠B，
∴△EBF∽△ABC；
∴△APE与△EBF都与△ABC相似；

（2）解：由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
设AP=a，
则AE=AP•cosA=

3

5

a，
所以，BE=5-

3

5

a，
BF=BE•cosB=

4

5

×（5-

3

5

a）=4-

12

25

a，
所以，CF=4-（4-

12

25

a）=

12

25

a，
∵△PCF与△APE相似，
∴

PC

CF

=

AE

PE

，或

PC

CF

=

PE

AE

，
即

3-a

12 25 a

=

3

4

或

3-a

12 25 a

=

4

3

，
解得a=

75

34

或a=

75

41

，
所以，当AP=

75

34

或

75

41

时，△PCF与△APE相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，难点在于（2）利用锐角三角函数表示出相应的边并分情况讨论．