Question

6．如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=$\frac{4}{5}$，求∠BAD的正弦值和余弦值及AC的长度．

Answer 1

分析 由AD⊥BC，于是得到∠ADB=∠BAC=90°，根据三角形的内角和定理求出∠B=∠CAD，根据已知条件cosB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，于是得到sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，求得cos∠BAD=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BAD}$=$\frac{3}{5}$，根据同角的三角函数的关系得到tan∠BAD=$\frac{sin∠BAD}{cos∠BAD}$=$\frac{4}{3}$，根据cos∠CAD=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{4}{5}$，把AD的值代入求出AC即可．

解答 解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵cosB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠BAD=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BAD}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠BAD=$\frac{sin∠BAD}{cos∠BAD}$=$\frac{4}{3}$，
∵cos∠CAD=$\frac{AD}{AC}$=cos∠B=$\frac{4}{5}$，AD=4，
∴AC=5．

点评 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握边角之间的关系是解题的关键．