Question

12．对于正数x，规定f（x）=$\frac{1}{1+x}$，例如：f（4）=$\frac{1}{1+4}$=$\frac{1}{5}$，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$，则f（2017）+f（2016）+…+f（2）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4033}{2}$．

Answer 1

分析 根据f（x）=$\frac{1}{1+x}$可得出f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1+x}$，将其相加即可得出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，由此即可得出原式=2016×1+f（1），代入x=1即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1+x}$，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x}{1+x}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{x}{1+x}$=1．
∴f（2017）+f（2016）+…+f（2）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{1}{2017}$）=1+1+…+1+f（1）=2016×1+f（1）=2016+$\frac{1}{2}$=$\frac{4033}{2}$．
故答案为：$\frac{4033}{2}$．

点评 本题考查了函数值以及规律性中数的变化类，根据函数关系式找出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是解题的关键．