Question

如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行切线，A、D为切点，∠BOC=90°．求证：BC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，作辅助线，运用勾股定理首先证明xy=r²，然后运用三角形的面积公式证明OE=r，问题即可解决．

解答：解：如图，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F；
过点O作OE⊥BC于点E；
∵AB、CD是⊙O的两条平行切线，
∴AD为⊙O的直径，
∴OA⊥AB，OD⊥DC；四边形ADCF为矩形；
设⊙O的半径为r，AB=x，DC=y，BC=m；
则AF=DC=y，CF=AD=2r，BF=x-y；
由勾股定理得：
BC²=CF²+BF²，
即m²=（2r）²+（x-y）²①；
BC²=OB²+OC²，
即m²=x²+r²+y²+r²②，
由①、②知：
4r²+x²+y²-2xy=x²+y²+2r²，
∴xy=r²；
∵S△BOC=

1

2

BC•OE=

1

2

OB•OC，
∴

x2+y2+2r2

•OE=

x2+r2

•

y2+r2

，
∴OE=

x2+r2 • y2+r2

x2+y2+2r2

=

x2y2+x2r2+y2r2+r4 x2+y2+2r2

，
∵xy=r²，
∴OE=

r2(x2+y2+2r2) x2+y2+2r2

=r，
即圆心O到BC的距离等于⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．

点评：该命题以圆为载体，以切线的判定为线索，以考查切线的性质、勾股定理的应用为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．