Question

12．若一个三位数t=$\overline{abc}$（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T（t）．例如，357的差数T（357）=753-357=396．
（1）已知一个三位数$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差数T（$\overline{a1b}$）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）若一个三位数$\overline{ab2}$（其中a、b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数$\overline{2ab}$被4除余1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数$\overline{b2a}$被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由一个三位数$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差数T（$\overline{a1b}$）=792，可得a=9，再根据三位数$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的各数位上的数字之和为一个完全平方数，可得b=16-9-1=6，依此即可求解；
（2）由一个三位数$\overline{ab2}$（其中a、b都不为0）能被4整除，可得b=1或3或5或7或9，再根据将新数个位数字移到百位得到另一个新数$\overline{b2a}$被4除余2并且a＜5，可得a=2，从而得到所有小于500的4的“闺蜜数”t，进一步求得T（t）的最大值．

解答 解：（1）∵一个三位数$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差数T（$\overline{a1b}$）=792，
∴a=9，
∵三位数$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的各数位上的数字之和为一个完全平方数，
∴b=16-9-1=6，
∴这个三位数是916；

（2）∵一个三位数$\overline{ab2}$（其中a、b都不为0）能被4整除，
∴b=1或3或5或7或9，
∵将新数个位数字移到百位得到另一个新数$\overline{b2a}$被4除余2并且a＜5，
∴a=2，
∴所有小于500的4的“闺蜜数”t是212，232，252，272，292，
T（t）的最大值是922-229=693．

点评 此题考查了完全平方数，本题主要应用“差数”“闺蜜数”的定义和整数性质，先将三位“差数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数．这也是解答数学竞赛题的一种常用方法．