Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：（1）CD是⊙O的切线；

（2）CE＝CF；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；

（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF．

证明：（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ABC＝90°，

∵CE＝CB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∵∠BCD＝∠CAE，

∴∠CAB＝∠BCD，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB+∠BCD＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB＝CF，

又∵CB＝CE，

∴CE＝CF；