Question

1．将一个矩形纸片ABCD放置到平面直角坐标系中，点A、B恰落在x轴的正、负半轴上，若将该纸片沿AF折叠，点B恰好落在y轴上的点E处，设OA=1．
（1）如图1，若OB=1，则点F的坐标为（1，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．
（2）如图2，若OB=2，求F的坐标．
（3）若OB=n，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质求出∠FAB=30°，根据正切的定义求出BF的长即可；
（2）作FM⊥y轴于M，根据折叠的性质得到∠AEO=∠EFM，设EM=x，根据正弦的定义用x表示出FM，根据题意列式求出x的值即可；
（3）与（2）的方法类似，根据折叠的性质和正弦的定义解答即可．

解答 解：（1）由折叠的性质可知，AE=AB=2，∠EAF=∠BAF，
∵OA=1，AE=2，
∴∠AEO=30°，
∴∠EAO=60°，
∴∠FAB=30°，
∴BF=AB•tan∠FAB=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
则点F的坐标为（1，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$），
故答案为：（1，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）；
（2）如图2，作FM⊥y轴于M，
∵∠AEF=∠ABF=90°，FM⊥y轴，
∴∠AEO=∠EFM，
∵sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠EFM=$\frac{1}{3}$，
设EM=x，则EF=3x，
由勾股定理得，MF=2$\sqrt{2}$x，OE=2$\sqrt{2}$，
∵OB=2，
∴2$\sqrt{2}$x=2，
解得，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OM=OE-EM=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴点F的坐标为（2，$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）；
（3）如图2，作FM⊥y轴于M，
∵∠AEF=∠ABF=90°，FM⊥y轴，
∴∠AEO=∠EFM，
∵sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{1}{n+1}$，
∴sin∠EFM=$\frac{1}{n+1}$，
设EM=x，则EF=（n+1）x，
由勾股定理得，MF=$\sqrt{{n}^{2}+2n}$x，OE=$\sqrt{{n}^{2}+2n}$，
∵OB=n，
∴$\sqrt{{n}^{2}+2n}$x=n，
解得，x=$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$，
∴OM=OE-EM=$\sqrt{{n}^{2}+2n}$-$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$，
∴点F的坐标为（n，$\frac{{n}^{2}+n}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}$）．

点评 本题考查的是矩形的性质、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质以及坐标与图形的特征，掌握翻折变换的性质、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．