Question

【题目】如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用AB表示A、B两点的距离，AC表示A、C两点的距离，且AB＝AC，点A、点C对应的数是分别是a、c，且|a+40|+|c﹣20|＝0．

（1）求BC的长．

（2）若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了多少秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等？

（3）若点P、Q仍然以（2）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，2秒后，动点R从A点出发向右运动，点R的速度为1个单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，点R运动了多少秒时恰好满足MN+AQ＝31；并求出此时R点所对应的数．

Answer 1

【答案】（1）BC＝40；（2）运动了秒或20秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等；（3）点R运动了秒或秒时恰好满足MN+AQ＝31，此时点R所对应的数为﹣或﹣．

【解析】

（1）由绝对值的非负性可求出a，c的值，进而可得出线段AC的长，结合AB= AC可求出AB的长，由BC=AC-AB可求出线段BC的长；
（2）由AB的长结合点A对应的数可求出点B对应的数，当运动时间为t秒时，点P对应的数为-2t-40，点Q对应的数为-5t+20，由Q到B的距离与P到B的距离相等，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当运动时间为t（t＞2）秒时，点P对应的数为-2t-40，点Q对应的数为-5t+20，点R对应的数为t-2-40，结合点M为线段PR的中点及点N为线段RQ的中点可得出点M，N对应的数，进而可得出线段MN的长，结合MN+AQ=31可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

（1）∵|a+40|+|c﹣20|＝0，

∴a+40＝0，c﹣20＝0，

∴a＝﹣40，c＝20，

∴AC＝|﹣40﹣20|＝60．

∵AB＝AC＝20，

∴BC＝AC﹣AB＝40．

（2）∵AB＝20，点A对应的数为﹣40，且点B在点A的右边，

∴点B对应的数为﹣20．

当运动时间为t秒时，点P对应的数为﹣2t﹣40，点Q对应的数为﹣5t+20，

∵Q到B的距离与P到B的距离相等，

∴|﹣2t﹣40﹣（﹣20）|＝|﹣5t+20﹣（﹣20）|，即2t+20＝40﹣5t或2t+20＝5t﹣40，

解得：t＝或t＝20．

答：运动了秒或20秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等．

（3）当运动时间为t（t＞2）秒时，点P对应的数为﹣2t﹣40，点Q对应的数为﹣5t+20，点R对应的数为t﹣2﹣40，

∵点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，AQ＝|﹣40﹣（﹣5t+20）|＝|5t﹣60|，

∴点M对应的数为＝﹣﹣41，点N对应的数为＝﹣2t﹣11，

∴MN＝|﹣﹣41﹣（﹣2t﹣11）|＝|t﹣30|．

∵MN+AQ＝31，

∴|t﹣30|+|5t﹣60|＝31．

当2＜t＜12时，30﹣t+60﹣5t＝31，

解得：t＝；

当12≤t≤20时，30﹣t+5t﹣60＝31，

解得：t＝；

当t＞20时，t﹣30+5t﹣60＝31，

解得：t＝（不合题意，舍去）．

∴t﹣2＝﹣或﹣．

当t＝时，点R对应的数为﹣；当t＝时，点R对应的数为﹣．

∴点R运动了秒或秒时恰好满足MN+AQ＝31，此时点R所对应的数为﹣或﹣．