题目内容
（2013•海门市二模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F．
（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．
①求证：△DEF∽△CEB；
②设AP=x，DF=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△EFC与△BEC面积之比为3：16时，线段AP的长为多少？（直接写出答案，不必说明理由）．
（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．
①求证：△DEF∽△CEB；
②设AP=x，DF=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△EFC与△BEC面积之比为3：16时，线段AP的长为多少？（直接写出答案，不必说明理由）．
分析：（1）①由于∠DEC、∠FEB都是直角，那么∠DEF、∠CEB为同角的余角，由此可得∠DEF=∠CEB，同理可证得∠EDF=∠BCE，由此得证．
②此题可通过两步相似，即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB，来证得PD=DF，从而求得y、x的函数关系式；
（2）设AP的长为x，根据△EFC与△BEC面积之比为3：16，列出有关x的方程，求解即可．
②此题可通过两步相似，即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB，来证得PD=DF，从而求得y、x的函数关系式；
（2）设AP的长为x，根据△EFC与△BEC面积之比为3：16，列出有关x的方程，求解即可．
解答：解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°，
∵DE⊥CP，
∴∠DEP=∠DEC=90°，
∴∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠DPE=∠CDE，
∵∠ECB=∠DPE，
∴∠ECB=∠EDF，
∵∠DEC=90°，
∴∠DEF+∠FEC=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠CEB+∠FEC=90°，
∴∠DEF=∠CEB，
∴△DEF∽△CEB．
②∵△DEF∽△CEB，
∴
=
，
∵DF=y，BC=2，AP=x，AB=4，
∴
=
，DP=2-x，CD=4，
由∠PDC=90°，DE⊥CP，易证△DPC∽△EDC，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴y=-
x+1，
∴x的取值范围为0＜x＜2．
（2）AP长为-2+
或2+
或2+
．
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°，
∵DE⊥CP，
∴∠DEP=∠DEC=90°，
∴∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠DPE=∠CDE，
∵∠ECB=∠DPE，
∴∠ECB=∠EDF，
∵∠DEC=90°，
∴∠DEF+∠FEC=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠CEB+∠FEC=90°，
∴∠DEF=∠CEB，
∴△DEF∽△CEB．
②∵△DEF∽△CEB，
∴
| DF |
| CB |
| DE |
| CE |
∵DF=y，BC=2，AP=x，AB=4，
∴
| y |
| 2 |
| DE |
| CE |
由∠PDC=90°，DE⊥CP，易证△DPC∽△EDC，
∴
| DE |
| CE |
| DP |
| DC |
| 2-x |
| 4 |
∴
| y |
| 2 |
| 2-x |
| 4 |
∴y=-
| 1 |
| 2 |
∴x的取值范围为0＜x＜2．
（2）AP长为-2+
| 13 |
| 13 |
| 19 |
点评：此题考查了相似形的综合，此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度较大，
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