题目内容
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(1)用含m的代数式分别表示点B,点E的坐标;
(2)若△ABC中AC边上的高为5,求m的值;
(3)若点P为线段AC中点,是否存在m的值,使△APD与△ABD相似?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先令y=0求出x的值,再令x=0求出y的值即可得出B、E两点的坐标;
(2)由直线y=mx+3+4m经过定点A可得出定点A的坐标,再由AD⊥y轴可知D点坐标,根据图形翻折变换的性质可CD=ED,故可得出CE的长,当点B在原点右边时,S△ABC=S△ACE+S△BCE=
•CE•(AD+OB)可得出三角形的面积;当点B在原点左边时,S△ABC=S△ACE-S△BCE可得出三角形的面积;再根据AC边上的高为5可得出AC的长,在Rt△ACD中根据勾股定理可求出m的值.
(3)①当点B在原点右边时,只有△APD∽△ADB一种情形.因为AP=PD,所以AD=DB,再由OD的长可知OB的长,故可得出m的值;
②当点B在原点左边时,若△APD∽△ABD时,AB=DB;若△APD∽△ADB时,根据AD=DB可得出m的值.
(2)由直线y=mx+3+4m经过定点A可得出定点A的坐标,再由AD⊥y轴可知D点坐标,根据图形翻折变换的性质可CD=ED,故可得出CE的长,当点B在原点右边时,S△ABC=S△ACE+S△BCE=
1 |
2 |
(3)①当点B在原点右边时,只有△APD∽△ADB一种情形.因为AP=PD,所以AD=DB,再由OD的长可知OB的长,故可得出m的值;
②当点B在原点左边时,若△APD∽△ABD时,AB=DB;若△APD∽△ADB时,根据AD=DB可得出m的值.
解答:解:(1)∵当y=0时,mx+3+4m=0,
∴x=-
,
∴B(-
,0).
∵当x=0时,y=3+4m,
∴E(0,3+4m);
(2)∵由直线y=mx+3+4m经过定点A,
∴定点A(-4,3).
又∵AD⊥y轴,
∴D(0,3).
由翻折可知:CD=ED=3-(4m+3)=-4m,
∴CE=2CD=-8m.
当点B在原点右边时,
S△ABC=S△ACE+S△BCE=
•CE•(AD+OB)
=
×(-8m)×[4+(-
)]=
×(-8m)×(-
)=12.
当点B在原点左边时,
S△ABC=S△ACE-S△BCE=
×(-8m)×[4-
]=
×(-8m)×(-
)=12.
∴S△ABC=12是不变化的.
∵AC边上的高为5,
∴
AC×5=12,
∴AC=
.
∵AD=4,∠ADC=90°,CD=-4m,
∴(-4m)2+42=(
)2,解得 m=±
,
又∵m<0,
∴m=-
;
(3)存在m的值,使△APD与△ABD相似.
①当点B在原点右边时,只有△APD∽△ADB一种情形.
∵AP=PD,
∴AD=DB=4.
∵OD=3,∴OB=
,
∴-
=
,解得 m=
.
②当点B在原点左边时,
若△APD∽△ABD时,AB=DB,∴-
=-2,解得 m=-
.
若△APD∽△ADB时,AD=DB=4,
∵OD=3,
∴OB=
,
∴-
=-
,解得m=-
.
∴存在m的值,使△APD与△ABD相似,m的值为
或-
或-
.
∴x=-
4m+3 |
m |
∴B(-
4m+3 |
m |
∵当x=0时,y=3+4m,
∴E(0,3+4m);
(2)∵由直线y=mx+3+4m经过定点A,
∴定点A(-4,3).
又∵AD⊥y轴,
∴D(0,3).
由翻折可知:CD=ED=3-(4m+3)=-4m,
∴CE=2CD=-8m.
当点B在原点右边时,
S△ABC=S△ACE+S△BCE=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
4m+3 |
m |
1 |
2 |
3 |
m |
当点B在原点左边时,
S△ABC=S△ACE-S△BCE=
1 |
2 |
4m+3 |
m |
1 |
2 |
3 |
m |
∴S△ABC=12是不变化的.
∵AC边上的高为5,
∴
1 |
2 |
∴AC=
24 |
5 |
∵AD=4,∠ADC=90°,CD=-4m,
∴(-4m)2+42=(
24 |
5 |
| ||
5 |
又∵m<0,
∴m=-
| ||
5 |
(3)存在m的值,使△APD与△ABD相似.
①当点B在原点右边时,只有△APD∽△ADB一种情形.
∵AP=PD,
∴AD=DB=4.
∵OD=3,∴OB=
7 |
∴-
4m+3 |
m |
7 |
| ||
3 |
②当点B在原点左边时,
若△APD∽△ABD时,AB=DB,∴-
4m+3 |
m |
3 |
2 |
若△APD∽△ADB时,AD=DB=4,
∵OD=3,
∴OB=
7 |
∴-
4m+3 |
m |
7 |
4+
| ||
3 |
∴存在m的值,使△APD与△ABD相似,m的值为
| ||
3 |
3 |
2 |
| ||
3 |
点评:本题考查的是一次函数综合题,涉及到相似三角形的判定与性质、图形反折变换的性质、三角形的面积公式等相关知识,难度较大.
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