Question

16．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道x²≥0，根据完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²，所以完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x²+8x-3的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x²+4x）-3
=2（x²+2x•2+2³-2²）-3
=2（x+2）²-11
∵2（x+2）²≥0
∴2（x+2）²-11≥0-11，且x=-2时，2（x+2）²-11的值最小，为-11
请根据上面的解题思路，解答下列问题：
（1）求多项式3x²-6x+2的最小值是多少，并写出对应的x的值；
（2）多项式4-x²+2x的最大值；
（3）求多项式x²+2x+y²-4y+9的最小值．

Answer 1

分析 （1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（3）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．

解答 解：（1）3x²-6x+2
=3（x²-2x）+2
=3（x²-2x+1-1）+2
=3（x-1）²-1，
∵无论x取什么数，都有（x-1）²的值为非负数，
∴（x-1）²的最小值为0，此时x=1，
∴3（x-1）²-1的最小值为-1；
则当x=1时，原多项式的最小值是-1；
（2）同（1）得：4-x²+2x=-（x-1）²+5，
∵无论x取什么数，都有（x-1）²的值为非负数，
∴（x-1）²的最小值为0，此时x=1，
∴-（x-1）²+5的最大值为：-0+5=5，
则当x=1时，原多项式的最大值是5．
（3）同（1）得：x²+2x+y²-4y+9=（x+1）²+（y-2）²+4，
当（x+1）²=0，（y-2）²=0时，多项式x²+2x+y²-4y+9的最小值为4．

点评 此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式．