Question

如图1，直线l：y=-2x+8分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C线段AB上，作CD⊥x轴于D，CD=2OD，点E线段OB上，且AE=BE；
（1）填空：点C的坐标为（

 

，

 

）；点E的坐标为（

 

，

 

）；
（2）直线m过点E，且将△AOB分成面积比为1：2的两部分，求直线m的表达式；
（3）点P在x轴上运动，
①当PC+PE取最小值时，求点P的坐标及PC+PE的最小值；
②当PC-PE取最大值时，求点P的坐标及PC-PE的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由CD⊥x轴于D，CD=2OD，设点C（a，2a）可列式2a=-2a+8，解得a的值，即可得出点C的坐标，令y=0，得0=-2x+8，可得点A（4，0），令x=0，得y=8，可得点B（0，8），由点E线段OB上，且AE=BE；设E（m，0）列出方程，解得m的值，即可得出点E的坐标，
（2）设直线m的表达式为y=kx+3，分两种情况分别求解即可．
（3）①E关于x轴的对称点E′坐标为（0，-3），设直线CE′的表达式为y=nx-3代入C（2，4）可得直线CE′的表达式，从而得出点P的坐标，作E′G⊥CD于G，即可求出PC+PE的最小值；
②设直线CE的表达式为y=dx+3，与x轴相交为p，代入点C的坐标，可得直线CE的表达式的表达式，进而可得点P的坐标，作CR⊥y轴于R，即可得出PC-PE的最大值．

解答：解：（1）由CD⊥x轴于D，CD=2OD，设点C（a，2a）得2a=-2a+8，解得a=2，所以点C（  2，4  ）；
令y=0，得0=-2x+8，解得x=4，点A（4，0），令x=0，得y=8，所以点B（0，8），
∵点E线段OB上，且AE=BE；
∴设E（m，0），得（8-m）²=m²+16，解得m=3，
∴E（0，3）．
故答案为：2，4，0，3；
（2）设直线m的表达式为y=kx+3，
①如图1：

当S_△BEF=

1

3

S_△AOB时，

5FH

2

=

1

3

•

4×8

2

，
得FH=

32

15

，x=

32

15

代入y=-2x+8得y=

56

15

，
将点F（

32

15

，

56

15

）代入y=kx+3得k=

15

32

，
所以直线m的表达式为y=

15

32

x+3；
②如图2：当S△OEN=

1

3

S△AOB时，

3ON

2

=

1

3

•

4×8

2

，
得ON=

32

9

，将点N（

32

9

，0）代入y=kx+3得k=-

27

32

，
所以直线m的表达式为y=-

27

32

+3；
（3）①如图2：

E关于X轴的对称点E′坐标为（0，-3），
设直线CE′的表达式为y=nx-3代入C（2，4）得n=35，
所以y=35x-3，
将y=0代入y=35x-3得x=

6

7

，
所以P的坐标为（

6

7

，0），
作E′G⊥CD于G，则E′G=OD=2，CG=7，
所以PC+PE的最小值=CE′=

22+72

=

53

；
②如图2：设直线CE的表达式为y=dx+3，与x轴相交为p，
代入C（2，4），得4=2d+3，d=

1

2

，
所以y=

1

2

x+3，当y=0时，x=-6；点P坐标为（-6，0），
作CR⊥y轴于R，则CR=OD=2，ER=1，
所以PC-PE的最大值=CE=

22+12

=

5

．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题涉及一次函数的表达式，对称点及勾股定理，解题的关键是数形结合，分类讨论的思想．