Question

1．如图，矩形纸ABCD，AB=3，AD=6，动点Q从点A出发以每秒1个单位长的速度沿AB向终点B运动，运动$\frac{2}{3}$秒时，动点P从点D出发以相等的速度沿DA向终点A运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．将△APQ沿PQ翻折，得到△EPQ
（1）用含t的代数式表示AP=6-t，AQ=$\frac{2}{3}$+t；
（2）连接BD，在运动过程中，当△PQE∽△BDC时，求t的值；
（3）在运动的过程中，∠PQE能否等于∠ABD的一半？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．（参考数据：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{5}$=2.2）

Answer 1

分析 （1）由题意可知：点P运动t秒时，点Q运动了（$\frac{2}{3}$+t）秒，根据时间×速度得到运动的距离，即线段的长；
（2）由△PQE≌△PQA和△PQE∽△BDC，得：△PQA∽△BDC，列比例式可得：AP=2AQ，列式可得结论；
（3）如图2，根据角的关系得：EQ∥BD，根据三角函数表示AH的长和PH的长，由AH=AP+PH列式可得结论．

解答 解：（1）由题意得：DP=t，AQ=$\frac{2}{3}$+t，
∴AP=AD-DP=6-t，
故答案为：6-t；$\frac{2}{3}$+t；

（2）如图1，由折叠得：△PQE≌△PQA，
当△PQE∽△BDC时，
得：△PQA∽△BDC，
∴$\frac{PA}{BC}=\frac{AQ}{DC}$，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{BC}{DC}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，DC=AC=3，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{6}{3}$=2，
∴AP=2AQ，
即6-t=2（$\frac{2}{3}$+t），
t=$\frac{14}{9}$；

（3）如图2，由折叠得：∠PQE=∠AQP，
当∠PQE=$\frac{1}{2}$∠ABD时，2∠PQE=∠ABD，
∴∠EQA=∠ABD，
∴EQ∥BD，
延长QE交AD于H，
tan∠ABD=tan∠EQA=$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{3}$=2，
∴$\frac{AH}{AQ}=2$，
∴AH=2（$\frac{2}{3}$+t）=$\frac{4}{3}$+2t，
∵QH∥BD，
∴∠AHQ=∠ADB，
∴sin∠AHQ=$\frac{PE}{PH}$=sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}$，
∴$\frac{6-t}{PH}=\frac{3}{\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}}$，
PH=$\sqrt{5}$（6-t），
由AP+PH=AH得：6-t+$\sqrt{5}$（6-t）=$\frac{4}{3}$+2t，
t=$\frac{6+6\sqrt{5}-\frac{4}{3}}{3+\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{40}{3}\sqrt{5}-16}{4}$，
解得：t=$\frac{10}{3}$；
∵动点Q从点A出发以每秒1个单位长的速度沿AB向终点B运动，且点P的运动时间为t（秒）．
∴t+$\frac{2}{3}$≤3，
∴t≤$\frac{7}{3}$，
∵$\frac{10}{3}$＞$\frac{7}{3}$，
所以在运动的过程中，∠PQE不能等于∠ABD的一半．

点评 本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、三角形相似的性质和判定、矩形的性质、三角函数以及动点运动问题，要特别注意本题的两个问题：①两个动点不是同时出发，有时间差$\frac{2}{3}$，②设点P的运动时间为t（秒）；正确表示动点P、Q两点的路程是关键．