Question

2．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB=2，⊙O上存在点C，使得弦AC=2$\sqrt{2}$，则∠BOC=30°或150°°．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连结OA，根据垂径定理得AD=$\frac{1}{2}$AB=1，AE=$\sqrt{2}$，再根据勾股定理可计算出OE，OD，根据角的和差得到得到∠BAC，然后根据圆周角定理求解．

解答 解：如图1，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连结OA，OA=2，如图，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
在Rt△OAE中，OE=$\sqrt{2}$，
∴∠EAO=45°，
在Rt△OAD中，OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAO=60°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，
∴∠BOC=150°，
如图2，同理：∠BAC=60°-45°=15°，
∴∠BOC=30°，
故答案为150°或30°．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．