Question

1．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．
（1）求证：CM=DN．
（2）若AB=10，CD=8，求BN-AM的值．

Answer 1

分析 （1）过O作OF⊥CD于F，利用平行线等分线段定理得到MF=NF，利用垂径定理得到：CF=NF，即可得到结论；（2）设AB与CD相交于E，利用垂径定理可以算出OF=3，设OE=x，则EB=x+5，AE=5-x，利用△EBN∽△EOF得到BN：3=（5+x）：x，利用△AME∽△OFE得到AM：3=（5-x）：x，两式相减即可得到：（BN-AM）：3=2，从而得到答案．

解答 解：（1）过O作OF⊥CD于F，
∵AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∴AM∥FO∥NB．
∵OA=OB，由平行线等分线段定理得：MF=NF，
∵OF⊥CD，O为圆心，
∴CF=FD，
∴MC=ND；

（2）连结OD，
∵AB=10，CD=8，
∴OD=5，FD=4，
∴OF=3，
OE=x，则EB=x+5，AE=5-x，
∵NB∥FO，
∴△EBN∽△EOF，
∴BN：3=（5+x）：x，①
∵MA∥FO，△AME∽△OFE，
∴AM：3=（5-x）：x，②
两式相减即可得到：（BN-AM）：3=2，
∴BN-AM=6．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．