Question

15．如图所示，直线AB与反比例函数图象相交于A、B两点，已知A（1，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，当△AOB的面积为$\frac{15}{2}$时，求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，即可求出反比例函数解析；
（2）求出反比例函数与一次函数的交点坐标，利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求直线AB的解析式．

解答 解：（1）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵点A（1，4）在反比例函数的图象上
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．

（2）设直线AB的解析式为y=ax+b（a＞0，b＞0），则当x=1时，a+b=4，即b=4-a．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=ax+b}\end{array}\right.$可得ax²+bx-4=0，
即ax²+（4-a）x-4=0，
∴（x-1）（ax+4）=0，
解得x₁=1，x₂=-$\frac{4}{a}$，
设直线AB交y轴于点C，则C（0，b），即C（0，4-a），
∵S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（4-a）×1+$\frac{1}{2}$（4-a）×$\frac{4}{a}$=$\frac{15}{2}$，
整理得a²+15a-16=0，
∴a=1或a=-16（舍去），
∴b=4-1=3，
∴直线AB的解析式为y=x+3．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是运用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求解．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．