Question

一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c．
（1）试用a、b有关的代数式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）试用a、b、c有关的代数式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积；
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：a²+b²=c²．

Answer 1

分析：（1）根据梯形面积公式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）根据三角形面积公式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积；
（3）根据S_{梯形BCC′D′}=S_Rt△CC'A+2S_Rt△ABC，列出方程并整理可证．

解答：解：（1）梯形BCC′D′的面积=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab；
（2）S_Rt△CC'A=

1

2

c²，S_Rt△ABC=S_Rt△AD′C=

1

2

ab；
（3）由图形可知S_{梯形BCC′D′}=S_Rt△CC'A+2S_Rt△ABC，
则

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

c²+2×

1

2

ab
∴

1

2

（a²+b²）+ab=

1

2

c²+ab．
因此，a²+b²=c²．

点评：本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．