Question

已知：关于x的方程kx²-（3k-1）x+2（k-1）=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=4，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）分两种情况讨论：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
（2）先根据根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁x₂，再把所求代数式利用完全平方公式变形即可求解．

解答：（1）证明：①当k=0时，x-2=0，得x=2，有实数根；
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵△=（3k-1）²-4k×2（k-1）=（k+1）²≥0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根；
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）解：∵方程有两个实数根，
∴k≠0，方程为一元二次方程．
由已知可得：x1+x2=

3k-1

k

，x1x2=

2(k-1)

k

，
∵x12+x22=4，
∴(

3k-1

k

)2-

4(k-1)

k

=4，
整理得：k²-2k+1=0，即（k-1）²=0，
∴k=1．

点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．