Question

3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与双曲线y=$\frac{6}{x}$的一个交点为A（m，3）．
（1）求m和b的值；
（2）过A的直线交双曲线于另一点B，交x轴于点C，若AC=3BC，请直接写出点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得到$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{1}$，推出BF=1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{1}$，推出BF=1，由此即可解决问题．

解答 解：（1）把点A（m，3）的再把代入y=$\frac{6}{x}$得到m=2，
再把A（2，3）的再把代入y=$\frac{1}{2}$x+b，3=1+b，解得b=2，
所以m=2，b=2．

（2）如图，

①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵AE∥BF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{1}$，
∴$\frac{3}{BF}$=$\frac{3}{1}$，
∴BF=1，
∴B（-6，-1）．
②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵AE∥BF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{1}$，
∴$\frac{3}{BF}$=$\frac{3}{1}$，
∴BF=1，
∴B（6，1），
综上所述，满足条件的点B坐标为（-6，-1）或（6，1）．

点评 本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．