Question

如图，A（4，0），B（2，4），C（0，4），直线y=x-3，与y轴、x轴分别交与D、E两点，P是折线BC-CO上的动点．（1）直接写出D、E两点的坐标D（

 

）、E（

 

）；
（2）当P是线段BC的中点时，求△PDE的面积；
（3）若P在线段OC上，过P作直线y=x-3的垂线，垂足为F，若以P，F，O为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线直线y=x-3即可求得D、E的坐标；
（2）求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线PD的解析式，进而求得直线PD与x轴的交点坐标，根据△PDE的面积等于两个三角形面积的和即可求得；
（3）设P（0，a）（0≤a≤4），F（b，b-3），过F作FH⊥y轴于H，先求得∠ODE=45°，进而求得∠HPF=45°，得出PH=FH，从而求得b=

a+3

2

，根据勾股定理求得OF²=

a2+9

2

，PF²=（

a+3

2

）²，然后分三种情况讨论求得；

解答：解：（1）∵直线y=x-3，与y轴、x轴分别交与D、E两点，
∴D（0，-3），E（3，0）；
故答案为0，-3、3，0．

（2）如图1，设直线PD的解析式为y=kx+b，
∵P是线段BC的中点，B（2，4），C（0，4），
∴P（1，4），
∵D（0，-3），
∴

k+b=4 b=-3

，解得k=7，
∴PD的解析式为y=7x-3，
∴直线PD与x轴的交点为（

3

7

，0），
∴△PDE的面积=

1

2

×（3-

3

7

）×4+

1

2

×（3-

3

7

）×3=9；

（3）如图2，设P（0，a）（0≤a≤4），F（b，b-3），
过F作FH⊥y轴于H，
∵OD=OE，
∴∠ODE=45°，
∴∠HPF=45°，
∴PH=FH，
即a-（b-3）=b，解得b=

a+3

2

，
∴OF²=b²+（b-3）²=（

a+3

2

）²+（

a+3

2

-3）²=

a2+9

2

，PF²=b²+（a-b+3）²=（

a+3

2

）²+（a-

a+3

2

+3）²=（

a+3

2

）²，
当OP=OF时，a²=

a2+9

2

，解得a=±3，∴P（0，3）；
当OP=PF时，a²=（

a+3

2

）²，解得a=3±3

2

，不合题意舍去；
当PF=OF时，（

a+3

2

）²=

a2+9

2

，解得a=0，不合题意舍去；
∴以P，F，O为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（0，3）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形面积的求法，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质；（3）作出辅助线根据等腰直角三角形是关键．