Question

如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,平行线的性质,三角形中位线定理

专题：几何图形问题

分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．

解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=

180°-∠AOD

2

=

180°-70°

2

=55°
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

42-32

=

7

．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=

1

2

BC=

7

2

．
又∵OD=

1

2

AB=2，
∴DE=OD-OE=2-

7

2

．

点评：本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．