题目内容

观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
（1）根据以上式子填空：
①
1
8×9
=
 
；  ②
1
n×(n+1)
=
 
（n是正整数）
（2）根据以上式子及你所发现的规律计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
…+
1
2007×2008
+
1
2008×2009
分析：（1）由于1：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…利用题目规律即可求出结果；
（2）首先把题目利用（1）的结论变为1-
1
2
+
1
2
-
1
3
…+
1
2008
-
1
2009
，然后利用有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
解答：解：（1）①
1
8×9
=
1
8
-
1
9
；
②
1
n×(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n是正整数）；

（2）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
…+
1
2007×2008
+
1
2008×2009

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
…+
1
2008
-
1
2009

=1-
1
2009

=
2008
2009
．
点评：此题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先正确理解题目中隐含的规律，然后利用规律把题目变形，从而使计算变得比较简便．
练习册系列答案
相关题目
观察下列各式：
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)，
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)，
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)，…，根据观察计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n-1)×(2n+1)
=
 
（n为正整数）．
若n为正整数，观察下列各式：
①
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)；②
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)；③
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)…
根据观察计算并填空：
（1）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
=
3
7
3
7

（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n-1)(2n+1)
=
n
2n+1
n
2n+1
．
先观察下列各式：
1
1×4
=
1
3
(1-
1
4
)，
1
4×7
=
1
3
(
1
4
-
1
7
)，
1
7×10
=
1
3
(
1
7
-
1
10
)，…
1
n(n+3)
=
1
3
(
1
n
-
1
n+3
)．
根据以上的观察，计算：
1
1×4
+
1
4×7
+
1
7×10
+…+
1
2005×2008
的值．
（12）观察下列各式：
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，…
（1）用含有n（n为正整数）的式子表示上述过程中的规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
（2）用你发现的规律解答下面问题：已知a，b是有理数，且|ab-2|与|b-1|互为相反数．
求 
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2011)(b+2011)
的值．
若n为正整数，观察下列各式：
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)，
1
3×3
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)，…根据观察计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
19×21
=
10
21
10
21
．

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