Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，OE∥BC交AC于点E，连接AD，交OE于点F，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明；
（2）连接BF，若⊙O的半径为4，AE=3，求BF的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，得∠BDA=90°，由OE∥BC，可得∠OFA=∠BDA=90°，再由OA=OD得∠AOF=∠DOF，即可证明△ODE≌△OAE，得∠ODE=∠OAE=90°，得OD⊥DE，所以DE为⊙O的切线，即DE与⊙O相切
（2）因为OA=4，AE=3，所以由勾股定理得OE=5，由O点为AB的中点，OE∥BC，所以点E为AC的中点，可得OE为△BAC的中位线，由射影定理得，BD，AD，在Rt△BDF中，由勾股定理得BF即可．

解答：答：（1）DE与⊙O相切．
证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∵OE∥BC，
∴∠OFA=∠BDA=90°，
∵OA=OD，
∴∠AOF=∠DOF，
又OE=OE，
∴△ODE≌△OAE（SAS），
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，即DE与⊙O相切，
（2）解：∵OA=4，AE=3，
∴由勾股定理得OE=5，
∵O点为AB的中点，OE∥BC，
∴点E为AC的中点，
∴OE为△BAC的中位线，
∴BA=2OA=8，AC=2AE=6，BC=2OE=10，
由射影定理得，BD=

32

5

，AD=

24

5

∴DF=

1

2

AD=

12

5

，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：
BF=

BD2+DF2

=

( 32 5 )2+( 12 5 )2

=

4 73

5

，
则BF的长是

4 73

5

．

点评：本题考查了切线的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．