Question

已知：a+

1

a

=2，求an+

1

an

（n为自然数）的值．下面是小明和小亮的讨论：
（1）小明发现：取n=0时，原式=1+1=2；
（2）小亮发现：
∵a+

1

a

=2
∴(a+

1

a

)2=a2+

1

a2

+2=22=4
∴a2+

1

a2

=2，
请你参考他们的提示，完成解答．

Answer 1

分析：分n为奇数和n为偶数两种情况讨论即可求出an+

1

an

（n为自然数）的值．

解答：解：取n=0时，原式=1+1=2；
取n=1时，a+

1

a

=2；
取n=2时，∵a+

1

a

=2，
∴(a+

1

a

)2=a2+

1

a2

+2=22=4，
∴a2+

1

a2

=2；
取n=2时，a³+

1

a3

=（a+

1

a

）（a²-1+

1

a2

）=2；
…
故an+

1

an

=2．

点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助，注意括号内两个数互为倒数．