Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G，若BG=2，DG=4，则CD长为（ ）

A. B. C. 6 D.

Answer 1

【答案】A

【解析】分析: 作辅助线，构建全等三角形，证明△DBE≌△BCF和△BGD≌△BHC，计算DE=BF=，再证明△BGE∽△BCF，列比例式得：＝，求得CF=±，从而得CD的长.

详解: 延长DE至H，使GH=BG，连接BH、CH，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=DC=AB=BD，

∴△BDC是等边三角形，

∴∠DBC=∠BCF=60°，

∵CE=DF，

∴BC-CE=CD-DF，

即BE=CF，

在△DBE和△BCF中，

∵，

∴△DBE≌△BCF（SAS），

∴∠BDG=∠FBC，

∴∠BDG+∠DBF=∠FBC+∠DBF=60°，

∴∠BGE=∠BDG+∠DBF=60°，

∴△BGH为等边三角形，

∴BG=BH=2，∠GBH=60°，

∴∠DBF+∠FBC=∠HBC+∠FBC，

∴∠DBF=∠HBC，

在△BGD和△BHC中，

∵，

∴△BGD≌△BHC（SAS），

∴DG=CH=4，

∵∠FBC=∠BDG=∠BCH，

∴BF∥CH，

∴△BGE∽△CEH，

∴，

∵EG+EH=2，

∴EG=，

∴BF=DE=4+=，

∵∠FBC=∠FBC，∠BGE=∠BCD=60°，

∴△BGE∽△BCF，

∴，

∴，

∴CF2=，

CF=±，

∴BE=CF=，

∴BC=3BE=3×=2，

∴CD=BC=2．

故答案为：A．

点睛: 本题考查了菱形的性质、三角形全等的性质和判定、三角形相似的性质和判定、等边三角形的性质和判定，作辅助线，构建全等三角形是本题的关键，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△BGH为等边三角形是突破口.