Question

【题目】阅读理解:

（问题情境）

教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？

（探索新知）

从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积，从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：

（初步运用）

（1）如图1，若b=2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；

（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a= 4，b= 6此时空白部分的面积为 ；

（迁移运用）

如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程.

知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y ：斜边x＝定值k

Answer 1

【答案】[探索新知]：；[初步运用]：（1）5：9；（2）28； [迁移运用] ：，证明详见解析.

【解析】

[探索新知]

分别表示出大正方形，小正方形，直角三角形面积，再由面积关系可得关系式；

[初步运用]

（1）将b=2a代入可推出，即小正方形面积为

大正方形面积=，可求出比值；

（2）空白部分面积为小正方形面积减去2个直角三角形面积；

[迁移运用]

大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，分别求出面积代入关系式化简即可.

[探索新知]

大正方形边长为，所以面积＝，小正方形的边长为，所以面积=,

直角三角形的面积=,由大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积可得

[初步运用]

（1）将b=2a代入得，∴，即小正方形面积为

大正方形面积=，

∴ 小正方形面积：大正方形面积＝：=5:9

（2）∵a= 4，b= 6

∴小正方形面积=，直角三角形面积=

∴空白部分面积=小正方形面积－两个直角三角形面积=

[迁移运用]

由补充知识可得大正三角形的高为，小正三角形的高为，全等三角形的高为，则由大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积可得

∴