Question

【题目】如图1，经过原点O的抛物线与x轴交于另一点，在第一象限内与直线交于点．

求这条抛物线的表达式；

在第四象限内的拋物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

如图2，若点M在这条抛物线上，且，

求点M的坐标；

在的条件下，是否存在点P，使得∽？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）；存在满足条件的点P，其坐标为或

【解析】

由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；

过C作轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；

（3）①设MB交y轴于点N，则可证得≌，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标；

②过M作轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作轴于点H，由条件可证得∽，由的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．

解：在直线上，

，

，

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，

解得，

抛物线解析式为；

如图1，过C作轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作于点F，

点C是抛物线上第四象限的点，

可设，则，，

，，，

，

的面积为2，

，解得，

；

（3）①设MB交y轴于点N，如图2，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

可设直线BN解析式为，

把B点坐标代入可得，解得，

直线BN的解析式为，

联立直线BN和抛物线解析式可得，

解得或，

，

②，

，且，

，，

∽，

，，

当点P在第一象限时，如图3，过M作轴于点G，过P作轴于点H，

，

，且，

∽，

，

，

，，

，，

；

当点P在第三象限时，如图4，过M作轴于点G，过P作轴于点H，

同理可求得，，

；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或