Question

16．定义：若函数y₁与y₂同时满足下列两个条件：
①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；
②在自变量范围内对于任意的x₁都存在x₂，使得x₁所对应的函数值y₁与x₂所对应的函数值y₂相等． 我们就称y₁与y₂这两个函数为“兄弟函数”．
设函数y₁=x²-2x-3，y₂=kx-1
（1）当k=-1时，求出所有使得y₁=y₂成立的x值；
（2）当1≤x≤3时判断函数y₁=$\frac{3}{x}$与y₂=-x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；
（3）已知：当-1≤x≤2时函数y₁=x²-2x-3与y₂=kx-1是“兄弟函数”，试求实数k的取值范围？

Answer 1

分析 （1）将k=-1代入一次函数，与二次函数联立方程组，求出方程组的解即为x的值；
（2）假设两个函数是兄弟函数，联立方程组，求出x的值，判断x值是否符合相应取值范围，经过判断，两个函数不是兄弟函数；
（3）利用兄弟函数的定义，联立函数解析式，求出x的值，然后将x的值带入x的取值范围，得到一个不等式组，解不等式组即可．

解答 解：（1）当k=-1时，y₂=-x-1，
根据题意得：x²-2x-3=-x-1，
解得：x=2或x=-1；
∴x的 值为2或-1．

（2）不是
若$\frac{3}{x}$=-x+5，
则x²-5x+3=0，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{13}}{2}$，
∵3＜$\sqrt{13}$＜4
∴4＜$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$＜$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$＜$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$＜1，
两根均不在1≤x≤3，
∴函数y₁=$\frac{3}{x}$与y₂=-x+5不是“兄弟函数”．

（3）∵函数y₁=x²-2x-3与y₂=kx-1是“兄弟函数”，
∴x²-2x-3=kx-1，
整理得：x²-（2+k）x-2=0，
解得：x=$\frac{2+k±\sqrt{（2+k）^{2}+8}}{2}$，
∵-1≤x≤2时函数y₁=x²-2x-3与y₂=kx-1是“兄弟函数”，
∴-1≤$\frac{2+k+\sqrt{（2+k）^{2}+}8}{2}$≤2，
解得：k≤-3，
或1≤$\frac{2+k-\sqrt{（2+k）^{2}+}8}{2}$≤2，
解得：k≥-1．
∴实数k的取值范围：k≤-3或k≥-1．

点评 题目考查了兄弟函数的定义，属于新定义类型，在考查新定义的同时，考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质，运用联立方程求出方程的根．题目整体较难，在理解的同时，考查学生快速理解新定义的能力，这也是中考变革的方向．