Question

4．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A（-3，0）、B（0，-3）两点，二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若二次函数y=x²+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n；
（3）①?设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x²+mx+n的最小值；
?②若当-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出解析式，
（2）先表示出二次函数y=x²+mx+n图象的顶点，利用直线AB列出式子，再与点A在二次函数上得到的式子组成方程组求得m，n的值，
（3）①易求抛物线解析式为y=x²-2x-15．根据抛物线的对称性和增减性来求二次函数y=x²+mx+n的最小值；
②本题要分四种情况：当对称轴-3＜-$\frac{m}{2}$＜0时；当对称轴-$\frac{m}{2}$＞0时；当对称轴-$\frac{m}{2}$=0时；当对称轴-$\frac{m}{2}$≤-3时，结合二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A得出式子9-3m+n=0，求出m，n但一定要验证是否符合题意．

解答 解：（1）A（-3，0），B（0，-3）代入y=kx+b得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴一次函数y=kx+b的解析式为：y=-x-3；

（2）二次函数y=x²+mx+n图象的顶点为（-$\frac{m}{2}$，$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$）
∵顶点在直线AB上，
∴$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=$\frac{m}{2}$-3，
又∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A（-3，0），
∴9-3m+n=0，
∴组成方程组为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n-{m}^{2}}{4}=\frac{m}{2}-3}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=9}\end{array}\right.$．

（3）①当m=-2时，9-3m+n=0，
解得 n=-15，
∴y=x²-2x-15．
∵对称轴直线x=1在-3≤x≤0右侧，
∴x=0时，y最小值是-15．
∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．
∴9-3m+n=0，
∴当-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4；

②如图1，i）当对称轴-3＜-$\frac{m}{2}$＜0时，最小值为$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4，与9-3m+n=0，组成方程组为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n-{m}^{2}}{4}=-4}\\{9-3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=21}\end{array}\right.$（由-3＜-$\frac{m}{2}$＜0知不符合题意舍去）
所以$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
ii）如图2，当对称轴-$\frac{m}{2}$＞0时，在-3≤x≤0时，x为0时有最小值为-4，
把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=$\frac{5}{3}$．
∵-$\frac{m}{2}$＞0，
∴m＜-2，
∴此种情况不成立，
iii）当对称轴-$\frac{m}{2}$=0时，y=x²+mx+n的最小值为-4，
把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=$\frac{5}{3}$．
∵-$\frac{m}{2}$=0，
∴m=0，
∴此种情况不成立，
iiii）当对称轴-$\frac{m}{2}$≤-3时，最小值为0，不成立．
综上所述，m=2，n=-3．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是在讨论对称轴不同位置得出m，n的值时，要结合对称轴看结果是否符合题意．