Question

13．如图（1），在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），过C作CB⊥x轴，且满足（a+b）²+$\sqrt{a-b+4}$=0．

（1）求三角形ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得到a=-b，a-b+4=0，解得a=-2，b=2，则A（-2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积=4；
（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，则G点坐标为（0，1），然后利用S_△PAC=S_△APG+S_△CPG进行计算．

解答 解：（1）∵（a+b）²≥0，$\sqrt{a-b+4}$≥0，
∴a=-b，a-b+4=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2）
∴三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×2=4；
（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）存在．理由如下：
设P点坐标为（0，t），直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0）、C（2，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴G点坐标为（0，1），
∴S_△PAC=S_△APG+S_△CPG=$\frac{1}{2}$|t-1|•2+$\frac{1}{2}$|t-1|•2=4，解得t=3或-1，
∴P点坐标为（0，3）或（0，-1）．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质．