Question

19．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，三角形内有一点D，∠DAB=40°，∠DBC=30°，求证：AB+AD=CD．

Answer 1

分析 如图，延长BD交AC于N，作NF⊥BC于F，延长FN交BA的延长线于E，连接EC．先证明△ANE≌△AND，再证明△ACE≌△ACD，由此即可解决问题．

解答 证明：如图，延长BD交AC于N，作NF⊥BC于F，延长FN交BA的延长线于E，连接EC．

∵∠NBC=∠NCB=30°，
∴BN=NC，
∵NF⊥BC，
∴BF=CF，∠BNF=∠CNF=60°，
∴EB=EC，∠ANE=∠CNF=60°，∠AND=∠NBC+∠NCB=60°，
∴∠ANE=∠AND，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=110°，∵∠BAD=40°，
∴∠CAD=70°，
∵∠EAN=∠ABC+∠ACB=70°，
∴∠NAE=∠NAD，
在△NAE和△NAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠NAE=∠NAD}\\{∠ANE=∠AND}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△AND，
∴AE=AD，
在△ACE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{∠EAC=∠DAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ACD，
∴EC=CD=EB，
∴AB+AD=AB+AE=BE=EC=CD，
即AB+AD=CD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难．