Question

如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC=8m，BD=6m，动点M从A出发沿AC方向以2m/s匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以1m/s匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为

1

4

m2？

Answer 1

分析：根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分当x＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上、当2＜x＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当x＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上三种情况分别讨论．

解答：解：设出发后x秒时，S△MON=

1

4

•
（1）当x＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．

1

2

（4-2x）（3-x）=

1

4

；
解得x₁=

5+ 2

2

，x₂=

5- 2

2

∵x＜2，
∴x=

5- 2

2

(s)；

（2）当2＜x＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，

1

2

（2x-4）（3-x）=

1

4

；
解得x1=x2=

5

2

(s)；

（3）当x＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，

1

2

（2x-4）（x-3）=

1

4

；
解得x=

5+ 2

2

(s)或x=

5- 2

2

s．
综上所述，出发后

5- 2

2

s或

5+ 2

2

s或

5

2

s时，△MON的面积为

1

4

m2．

点评：本题考查了一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．