题目内容
17．如图，正方形ABCD中，以BC为直径作半圆，BC=2cm．现有两动点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/秒的速度向点C运动．当点E到达A点时，E、F同时停止运动，设点E运动时间为t．（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？
（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？
（3）如图2，将图形放在直角坐标系中，当1＜t＜2时，设EF与AC相交于点P，双曲线$y=\frac{k}{x}（k≠0）$经过点P，并且与边AB交于点H，求出双曲线的函数关系式，并直接写出$\frac{BH}{AH}$的值．
分析 （1）线段EF和BC平行时，AE=DF，2-t=2t-2，解方程就可以求出其t值．
（2）当EF与半圆O相切时，根据切线的性质，作辅助线如图，利用勾股定理和切线长定理就可以求出其t的值．
（3）当1≤t＜2时，△AEP∽△CFP，就可以求出点P的位置不会发生变化AP：PC=AE：CF是个定值为$\frac{1}{2}$，由AB=BC=2，根据勾股定理求得$AC=2\sqrt{2}$，进而得出CP=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，从而求得P的坐标为（$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），利用待定系数法即可求得双曲线的函数关系式，把x=-2代入双曲线的关系式得y=$\frac{8}{9}$，从而求得H的坐标，根据坐标即可求得$\frac{BH}{AH}$的值．
解答 解：（1）设E、F出发后经过t秒时，EF∥BC，
此时BE=t，CF=4-2t，BE=CF，即t=4-2t，
∴$t=\frac{4}{3}$；
（2）如图，设E、F出发后t秒时，EF与半圆相切，过F点作FK∥BC，交AB于K．
则BE=t，CF=4-2t，EK=EB-KB=EB-FC=t-（4-2t）=3t-4．
EF=BE+CF（切线长相等）=4-t
在Rt△EKF中，EF2=EK2+KF2=（4-t）2=（3t-4）2+22
解得：$t=\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$或$t=\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$，
∵1＜t＜2，∴$t=\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$．
（3）当1＜t＜2时，
如图：由$\frac{AE}{CF}=\frac{2-t}{4-2t}=\frac{1}{2}$，
∵AB∥DC，
∴△APE∽△CPE 则$\frac{AP}{PC}=\frac{AE}{CF}=\frac{1}{2}$，
即点P的位置与t的数值无关．
∴点P的位置不会发生变化，AP：PC的值为$\frac{1}{2}$，
∵AB=BC=2，
∴$AC=2\sqrt{2}$，
∵AP：PC=1：2，
∴CP=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，
∴P（$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），
将P（$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$）代入双曲线解析式$y=\frac{k}{x}$，得$k=-\frac{16}{9}$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{16}{9x}$，
把x=-2代入得y=$\frac{8}{9}$，
∴H（$-2，\frac{8}{9}$），
∴$\frac{BH}{AH}=\frac{4}{5}$．
点评 本题是反比例函数的综合题，切线的性质，切线长定理的应用，勾股定理的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，有一定的难度．
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的面积都等于1，以格点为顶点，画一个面积为13的三角形．
如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点，则不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集为-4＜x＜0或x＞2．