Question

【题目】如图，在中，，，，半径为2的从点开始（如图①）沿直线向右滚动，滚动时始终与直线相切（切点为），当与只有一个公共点时滚动停止．作于点．

（1）图①中，在边上截得的弦长______；

（2）当圆心落在上时，如图②，判断与的位置关系，请说明理由；

（3）在滚动过程中，线段的长度随之变化，设，，求出与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）与相切，详见解析；（3）

【解析】

（1）要求的长度，需做辅助线构造，由圆的半径相等、与圆相切及特殊角，利用等量代换将所求线段转化为已知线段求解；

（2）猜想与相切，但未知切点，常用方法为作垂线，证半径，结合直角三角形中角所对的边等于斜边的一半求解；

（3）线段之间的函数关系式，一般为一次函数，分三种情况讨论：点在左侧；点在上；点在右侧三种情况，构造直角三角形，利用三角函数及切线性质求解．

解：（1）连接，，如解图①，，，

∵，∴，∴为等边三角形，∴．

图①

（2）与相切；

理由如下：过点作于点，连接，如解图②，

图②

∵与相切于点，∴，

在中，，∴，

又∵，∴，在中，，

∴，在中，，

∴，即为的半径，∴与相切；

（3）当点在上时，，；

当点在点左侧时，连接交于点，如解图③，

图③

∵与相切于点，∴，

又∵，∴，

在中，，

∴，∴，

∴在中，，

此时的取值范围是：；

当点在点的右侧时，连接并延长交于点，如解图④，

图④

同理可得：，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

在中，

，

此时的取值范围是：．

综上，与之间的函数关系式为．