Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=

2

3

mx-4m与x轴、y轴分别交点A、B，点C在线段AB上，且S_△AOB=2S_△AOC．
（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）将△AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰好落在抛物线y=

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x2+

2

3

mx+m上时，求该抛物线的表达式；
（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）令x=0，即可求得B的纵坐标，令x=0求得x，则A、B的坐标即可求得，根据S_△AOB=2S_△AOC．可以得到C是AB的中点，据此即可求得C的坐标；
（2）求得C关于x轴的对称点，代入抛物线的解析式，即可求得m的值，进而求得抛物线解析式；
（3）分AO是平行四边形的对角线，OC是平行四边形的对角线，AC是平行四边形的对角线三种情况进行讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解．

解答：解：（1）在直线y=

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3

mx-4m中，令x=0，解得：y=-4m，则B的坐标是（0，-4m），
令y=0，解得：x=6，则A的坐标是（6，0）．
∵S_△AOB=2S_△AOC．
∴C是AB的中点，
∴C的坐标是（3，-2m）；

（2）C′的坐标是（3，2m），
代入抛物线的解析式得：

3

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×9+2m+m=2m，
解得：m=-

3

2

，
则抛物线的解析式是：y=

3

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x²-

3

3

x-

3

2

；

（3）设M的坐标是（x，y），
C的坐标是（3，

3

），
当AO是对角线时，AO的中点是（3，0），则

3+x 2 =3 3 +y 2 =0

，
解得：

x=3 y=- 3

，
则M的坐标是（3，-

3

），满足函数的解析式；
当AC是平行四边形的对角线时，AC的中点是：（

9

2

，

3

2

），
则M的坐标是（9，

3

），
（9，

3

）是抛物线上的点；
当OC是平行四边形的对角线时，OC的中点是（

3

2

，

3

2

），
则

6+x 2 = 3 2 y 2 = 3 2

，
解得：

x=-3 y= 3

，
则M的坐标是（-3，

3

）．
点（-3，

3

）是抛物线上的点．
则M的坐标是：（3，-

3

）或（9，

3

）或（-3，

3

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．