Question

【题目】中，，为高线，点在边上，且，连接，，与边相交于点．

（1）如图1，当时，求证：

（2）如图2，当时，则线段、的数量关系为 ；

（3）如图3，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，旋转后边所在的直线与边相交于点，边所在的直线与边相交于点，与高线相交于点，若，且，求线段H的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，；（3）2

【解析】

（1）根据tan∠BAC=1=tan45°，得出△ABC为等腰直角三角形，再过E点作EK⊥BC，EK与CD相交于点K，得出∠GKE=45°=∠B，再根据∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，得出△GEK∽△FEB，从而证出，即可得出EF=2EG；

（2）根据（1）的证明过程，同理可证出当tan∠BAC=2时，得出EF=EG；

（3）根据（2）的结论，先设AC=3k，得出BC＝6k，EC＝EC＝2k，再过点E作EM⊥BC，EM与CD的延长线相交于点M，得出△AGC∽△EGM，得出，再过点G作GN∥EH，与AH相交于点N，得出△ANG∽△AHE，得出NH的值，同理得出△GEM∽△FEB，得出EF=EG．同理可证EF′=EG′，∠FEF'=∠GEG'，得出△GEG'≌△FEF'，即可证出的值，再根据HG′∥NG，同理可证，得出EC=CH，得出△HCE是等腰直角三角形，在△HG'C中，求出CW的值，从而得出G′H的值．

（1）证明：在中， ，

，

，

．

为等腰直角三角形，

，

，

过点作，与相交于点，

，

，

，

，

，

；

（2）根据（1）的证明，同理可证：

当时，；

（3）在中， ，，

则，

设，则BC＝6k，则，

过点作，与的延长线相交于点， ，

．

在与中，

，

,，

，

过点作，与相交于点，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

同理可证, ，

，

，

．

，同理可证，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，，

在中，过点作，垂足是，

设，则HW＝x，则，

，，

，

，

．