题目内容
【题目】在ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作ECFG.
(1)如图1，证明ECFG为菱形；
(2)如图2,若∠ABC=120°,连接BG、CG,并求出∠BDG的度数：
(3)如图3,若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中点，求DM的长.
【答案】（1）见解析；（2）∠BDG=60°；（3）DM=5
【解析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）连接BM，MC，结合题意，根据矩形的判定得到四边形ABCD和四边形ECFG为正方形.因为∠BAF=∠DAF，则BE=AB=DC，因为M为EF中点，所以∠CEM=∠ECM=45°，故∠BEM=∠DCM=135°，根据全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC，则由全等三角形的性质可得MB=MD，∠DMC=∠BME.结合题意得到等腰直角三角形.根据勾股定理得到BD=10，故DM=5.
(1)证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
(2)结论：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由(1)知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE,∠BCG=
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG(SAS)，
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
(3)如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由(1)可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形.
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵BE=CD,∠BEM=∠DCM，EM=CM,
∴△BME≌△DMC(SAS)，
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=6，AD=8，则BD=
=10，∴DM=5.
